平日看着牆上掛着的時鐘，時針和分針轉起來，兩針形成的角度都有點分別，有時也會問起，究竟兩針形成的角度是多少呢？這次分享一道關於鐘面的時針與分針的問題，也談談一些相關的問題。
問 題：鐘面上6時45分，時針和分針之間的角度是多少？
答 案：先留意分針每分鐘是360o ÷ 60 = 6o，時針每分鐘是360o ÷ 12 ÷ 60 = 0.5o，鐘面上連續兩個數字之間是360o ÷ 12 = 30o。分針由12字的位置，走了45 × 6o = 270o。時針則由6字的位置，走了0.5o × 45 = 22.5o，而由12字到6字是6 × 30o = 180o。故此兩針之間是270o - 180o - 22.5o = 67.5o。
解題過程中，算出了每分鐘分針和時針分別走了6o和0.5o，連續兩數字之間相差30o，這些基本的知識，在鐘面上時針分針的問題常常出現。撇開做數學題，這些也可以視為一些基本常識。
解題講到兩針相差67.5o，進一步也可以問，那麼兩針形成67.5o的時間，是不是就只有這個時間呢？不難發現，每個小時裏，大部分情況下，都會有兩次這樣的機會。比如6時裏，除了6時45分外，另外一個時間，就是分針未到6字前的情況，例如6時後過了x分鐘的話，那樣兩針之間是67.5o，就可列出方程180o + 0.5ox - 6ox = 67.5o，解得x = 20[5][11] ，即該時間是6時20[5][11] 分。
是不是每小時，都有兩次兩針之間形成67.5o呢？也不是的，比如2時多的時候，固然在分針剛掃過時針後不久，就會有一次兩針形成67.5o的情況，這個是易知的，只是到了差不多3時的時候，分針也要過了3時，才有另一次形成相關度數的情況。這個也可以算一算的，就是2時後過了t分鐘，那樣即將到3時的時候，兩針之間的角度，就可以列出360o -6ot + 60o + 0.5ot = 67.5o，可解得t = 64[1][11] ，但t只能小於60，因此2時裏只有一次兩針之間是67.5o的情況。
提到2時只有一次這樣的情況，也自然會想起，哪幾個小時是一次，哪幾個小時是兩次呢？這個要分析下去也是可以的，有興趣的讀者可以試試，大致上來說，在數字12左右的小時，比如9時、10時、11時、12時、1時、2時左右，就單獨抽出來想想看，其餘的都可以。
剛才提到的角度是，若是改成其他角度，也可以問起，哪幾小時只有一次兩針形成該角度的問題。其實也未必要時刻去解方程，比如剛才9時的情況，9時0分時，兩針之間是90o，這是易知的，在分針與時針重疊前，自是有一次67.5o的情況，只是分針過了時針之後，兩針之間角度增加，即使到了10時，兩針之間還只是60o而已，未到67.5o。由此可知，9時之內也只是有一次。
大概是因為時鐘太常見，時鐘相關的奧數題也挺多的，這樣也許可以令同學在平常的生活裏找到多些數學的趣味。在新的一年裏，願時鐘也時刻提醒同學們要珍惜光陰，努力學習！ ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
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