【奧數揭秘】反證法

這次分享一道關於正整數的乘積是奇數還是偶數的問題，當中用到了反證法。

問 題：設a1，a2，…，a7是正整數，任意改變這七個數的順序後，記為b1，b2，…，b7。證明：A = (a1 - b1)(a2 - b2)...(a7 - b7)是偶數。

答 案：假設A為奇數，則(a1 - b1)，(a2 - b2)，…，(a7 - b7)都是奇數，則各數相加的和為奇數。然而(a1 - b1) + (a2 - b2) + ... + (a7 - b7) = (a1 + a2 + ... + a7) - (b1 + b2 + ... + b7) = 0為偶數。因此假設不能成立，A為偶數。

題解中的思路，主要是用反證法，先假設A是奇數，推論起來，會得到奇數個奇數之和是奇數的結果，從而得知假設不成立，因此A是偶數。反證法的思路，大致的方向是假設結論不成立，然後推論起來，可能會推出與假設不相符的結果，或者是與已知為真的數學命題相反。這個在數學上很常用。

談起反證法，要說清楚一點，也要談談一點點邏輯。有些基本詞彙在數學裏會遇上，平常看新聞也可能會遇到，比如「命題」。命題是判斷一件事情的語句，可明確分辨真假的。比如「一個等邊三角形裏，三隻內角都是60o。」那就是能明確分辨真假的。不是什麼語句都可以明確分辨真假的，比如見到小孩子，談起「他們長得挺高。」那沒明確定義什麼是高的時候，就無法明確分辨真假。

這個命題與反證法的關係，也需要談談命題的四種形式，即原命題，逆命題，否命題與逆否命題的分別，以及它們之間的關係。

原命題就是「若A，則B。」的形式，比如「若一個整數為4的倍數，則它是一個雙數。」（真）

逆命題則是「若B，則A。」的形式， 比如「若一個整數是雙數，則它是4的倍數。」（假）

否命題就是「若非A，則非B。」的形式， 比如「若一個整數不是4的倍數，則它不是一個雙數。」（假）

逆否命題就是「若非B，則非A。」的形式，比如「若一個整數不是雙數，則它不是4的倍數。」（真）

留意上述的原命題與逆否命題，其實兩者是等價的。在原命題較難證明的情況下，嘗試證明它的逆否命題，就是反證法。

課程內的數學，關於邏輯的訓練，說到底都是滲透在所有推論上的，不過較明顯的還是在幾何證明上。比如畢氏定理，就有所謂逆定理，就是「一個三角形有直角」與「其中兩邊的平方之和為第三邊平方」的關係，原定理是前者推出後者，逆定理是後者推出前者。

由於課程內有一大部分的定理，其原命題與逆命題都同時為真，所以有時聯想起來，也好像沒怎樣自覺地用過邏輯推理，就能解得了問題，計得到答案，但這點聯想與邏輯推論之間是大有分別的，有心學好數學的話，是要仔細地分辨，而且在每一步的推論中自覺到。

奧數裏由於題目變化較大，題目中的條件之間，邏輯關係也相對複雜，所以可以有較強的邏輯訓練。

談起邏輯時也要留意，其實這裏也只是說了一些很基本的邏輯而已，筆者早年在書店，見過一本邏輯大辭典，足有兩三寸厚，內裏也指出邏輯是有很多種的，這個就是真要有興趣鑽研下去才可以深入了解的。■張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校