【奧數揭秘】兩根的和與積

這次分享一道解方程組的題目，當中涉及一元二次方程的和與積。課內大概是高中水平，奧數裏則是初中程度。

簡單回顧一下關於兩根的和與積的知識。對於一元二次方程ax2 + bx + c = 0，兩根之和為-[b][a]　，兩根之積為[c][a]　。倒過來說，例如有兩數之和為4，兩數之積為3，則亦有一元二次方程x2 - 4x + 3 = 0，可解得此兩數。

解題的過程中，重點是發現到未知數除了是x和y本身以外，還可以把未知數看成是x + y和xy兩個。看未知數的角度改變了，題目也就容易解了。方向主要是把方程組消去x + y，然後只剩下關於xy的一元二次方程。之後找到兩個根，然後對應的x + y也找出來，就再次聯立起來，或者用二次方程的兩根之和與積，找到相應的x和y。也略提一下，{x,y} = {1,5}就是(x,y) = (1,5)或(5,1)，大括號的寫法是無分次序的意思。

問題問起來，若是講到解方程，學生解到徹底就會發現有四組實數解。要是問題改一改，單是問起有多少組實數解，然後題目裏的數字又改一改，那樣問題看來易了，但反而比較易錯。比如把第一式右方改成是7，第二式右方改成是12，那樣計算起來就會得到xy = 3或4，對應的x + y分別為4或3。若是看到這裏，就覺得解下去會有四組實數解，那就錯了。後一個情況，會得到u2 - 3u + 4 = 0，計算判別式，會計出△ = (-3)2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0。只有xy = 3及x + y = 4的情況，能解出{x,y} = {1,3}。

好像這題改一改數字，題目的結果就多了變化的，在奧數裏有不少。有時看着一道題目，初看時，想到了關鍵步驟，以為解完了，覺得改了數字，解法也差不多，但一旦解下去，久不久又發現看漏了一些細微的曲折。若果沒有踏踏實實寫下來，看清楚，是難以見得仔細的。

數學裏的概念，不時用着類比的想法，當中想法相似的情況很多，但仔細推論下來，也會有些細微的枝節，可以頗有分別。比如解z3 = 1，在實數的範圍內，根只有z = 1，但在複數範圍內，就會多了另外兩個根。許多實數的性質，到了複數的情況，會多了許多曲折，這個在課程內難以涉獵太多，奧數裏到高中程度，會談多一點，若要知得再多一點，就要看些大學程度的數學書了。

平常學習或者思考，用着類比來說理的時候很多，但推論出來時，若果仔細分析起來，發覺不少部分難以互通，若果缺乏警覺性，穿鑿附會多了，看法有失誤的時候也多了。■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。