【奧數揭秘】作一個三角形

這次分享一道初中競賽的幾何題，然後談談學生在解題當中的問題。

問 題：△ABC中，有∠ABC = 60o，∠ACB = 80o且AB = 18，D是邊BC上的點使得AD平分∠BAC 。求△ABD面積的兩倍與△ADC的面積之和。

答 案：由△BAC的內角和，得知∠BAC = 180o - 80o - 60o = 40o。

∠BAD = [1][2]　 ∠BAC = 20o。

由△BAD的外角，得知∠ADC = 60o + 20o = 80o。△ADC的底角相等，得知它為等腰三角形。

構造全等於△ABD的△AB'C，則由∠B' = ∠B = 60o，得知△ABB'是一個等邊三角形，這三角形的面積，正是題目要求的△ABD面積的兩倍與△ADC面積之和，就是 [1][2]　 × 18 × 18 × sin60o = 81[3]　。

解題的過程之中，關鍵在於發現△ADC等腰，然後懂得構造△AB'C，之後注意到△ABB'為等邊三角形。這當中的發現，都是由探索角度大小開始的。剛好題目的條件，都足夠令人計算出△ABC內六隻角的大小，看到角度之後，也必然會留意到等腰三角形的資料。

比較特別的是△AB'C構造的情況，因為解題時只有原本的△ABC，另外作一個三角形出來，未必是會想得到。平常作多一個三角形出來，也未必可以組成一個容易計算的大三角形。這裏剛好構造完之後，拼成了等邊三角形，只是個很特殊的情況。

這裏一下子把構造的方法和發現的方向披露出來，好像挺順利的，不過做起來時就可能會繞了其他彎，比如看到了角度和面積就會聯想起三角函數。有時學生也會嘗試用三角函數表示題目所要求的面積，然後再化簡三角函數。不過當中有些sin20o之類的，並非平常的特殊角，所以化簡起來沒那麼順利。

這些非特殊角的三角函數，若果沒去用計算機計出來，也要求準確值的，通常都比較難計算，即使懂多了高中關於三角函數的公式，還是很困難，有時化簡起來已經是一道難題，例如計算[1][sin20o]　 + [1][sin40o]　 + [1][sin100o]　，這個看來挺難的，但化簡時輾轉會化出2[3]　，有興趣的讀者可以試試。

解題過程中，繞的彎不只是數學上的，比如幾個人一起解題，遇着順利探索的時候，學生還集中一點，一旦到了遇上障礙，就容易漸漸分心了。開始會想跟其他人討論，但討論的時候，話題離數學愈來愈遠，這也是很常見的現象。數學讀得較好的學生，往往思考比較敏捷，於是聯想起其他事情，也很容易愈說愈遠。若是知道遇上障礙時自己容易分心，就要提醒自己要定下來，減少這樣的情況。

上課時，老師仍可以嘗試把話題帶回數學裏，這樣能令學生集中多一會，問題有時也就解決了。相反，只有學生討論的時候，未必有人能注意到專注力已分散的問題，或許各人也在閒聊中忘了解題的方向。中小學生有時就是會這樣，所以要老師去引導一下。 ■張志基

■香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。