【奧數揭秘】分割正方形

這次分享一道關於正方形分割的題目，當中涉及構造圖形，也有點小趣味。

問 題：設自然數n ≥ 6，求證：任一個正方形都可分成n個正方形。

答 案：先嘗試構造n = 6的情況，比如是圖一，就可以把正方形分成6分。至於n = 7或8的時候，也不難作出來，如圖二和圖三。

留意到若果把圖中一個小正方形，一分為四，則可以多出了3個正方形，因此當n為6、7和8的圖作出之後，其餘只需要把圖中的小正方形依次一分為四就可以了。比如要有9個小正方形，就把n = 6圖裏的小正方形一個變四個。因此對於，任意正方形都可分為n個正方形。

這次解題的想法，是在構造各情景的過程中，留意到分成更多小正方形的情況，是可以由較少正方形的情況得出。從而由數字最小，最簡單的三個情況開始構造，就可以完成解答了。

構造圖形來答題的題目，在奧數裏一般是比較難的，因為要由無到有構造一個圖，開始時還會懷疑是否可行，沒信心的話可能很快放棄。課內的數學較少有構造圖形的問題，一些教科書裏有些增潤部分的開放題，久不久也會有些較靈活的題目，但一般也未到要構造許多圖形出來。

分享題目裏的情景算是挺普遍的，就是一個正方形切開幾分那樣，當中又引入了遞推的想法，使得問題比起純粹構造又綜合了多一點概念。

在奧數裏見識過這些構造型的題目是好的，有時學生只面對課內的數學，可能會覺得數學就是要計算、要列式之類的，沒有算式、依靠想像力的數學，好像沒怎樣見識過。遇上了這些題目，就會發現，「原來數學也可以是這樣的」。

奧數裏的題目，並不只是難度上增加了，而是發問的方式也有分別。比如課內有證明題，奧數裏會有些要求判斷一個命題是否正確的問題，而當中的推論也要有相當深度，才可以確定得到結論。或者有時是給予一些特殊例子，要求學生歸納出普遍的規律，然後加以證明。

比起去了解一個已知的問題，在判斷命題對錯之中，多了幾分不確定，也在歸納規律之中，由解決問題，變成了發現數學。於是學習和思想的角度，跟之前就有了分別，明白原來自己也可以在數學現象中，發現一些原本未知的結果。

學生對於數學的看法，往往被教科書的題目和身邊的圈子局限着，有時即使學生本身對數學有興趣，但教科書裏的題目，由於是面對大眾的，變化比較有限，若是較難的、推導過程較多的、想法比較新穎的、距離課程較遠的，很難提及，因此學生對數學的見識就有限制了。

在學習奧數的過程中，即使沒有去參與競賽，在見識上也會增長了不少，對數學的理解也多了許多新角度，明白數學比起計算多了很多內容，這是頗大的得着。 ■張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校