【奧數揭秘】限制條件中求極值

這次分享一道在限制條件中求極值的問題，就是未知數在一定的關係之下，限制了大小，然後找與該未知數相關、另一函數的最大值或最小值的問題。當中的技巧用上了一些一元二次函數的技巧，比如配方法和函數圖像之類，基礎上屬於課內的高中課程，奧數則屬初中程度。

解題過程中，通過消去y2，令目標算式裏只留下未知數x，再經過配方法，得到最大值。要留意的重點，是配方之後得到的結果，不可以即時說是最大值。因為題目的條件中，有x2 + 2y2 = 1，使得x的範圍並非任意，只能是-1 ≤ x ≤ 1。故此若果x超出了這個範圍，則沒有對應的實數y符合限制條件。因此最後一步，檢查當目標算式為最大值時，是否有實數y與之對應，滿足限制條件，是必要的一步。

若果目標算式換了數字，是不是真的會有別樣的情況呢？這也試舉一個例子說明，比如要找P = 2y2 - 4x - 5的最大值，而限制條件一樣，代入

y2 = ，則有P = -x2 - 4x - 4 = -(x + 2)2，這樣看來當x = -2的時候，P = 0為最大值，但留意到這時候，限制條件裏(-2)2 + 2y2 = 1，得y2 = - ，可見y不是實數。即x = -2所對應的P = 0不能是最大值。這時候要求P的最大值，要看x的範圍-1 ≤ x ≤ 1裏，兩端的1和-1對應的P，由檢算可得知當x = -1時，P= -1為最大值。

這裏就可以看出，只要目標算式裏的數字換一下，解題時就算都是用上了配方法，但細節上是有分別的，若果想答案時，欠缺了x範圍的考慮，數字改變一下時，就會錯了。

在題目裏的限制條件下求目標函數的極值，這種題目很多，比如課程內就有線性規劃，通常中五中六左右才會學，那就是限制條件是幾道線性不等式，然後目標函數是線性函數的情形。

為什麼限制條件下求極值的問題有很多呢？因為在現實的情況裏，目標函數計出來的，有時是生產成本，有時是時間，而這些數字是跟產品各部分的限制有關的，比如生產時間不能太長，或者一些部分不能太多，這些變量的數量有限制，寫成算式時，就有了各樣的限制條件，想要求成本最小，或時間最短的話，那就成了一道限制條件下，求極大極小值的問題。這些限制和目標函數，化成算式時，有時是線性，可以用線性規劃，到了非線性的情況，又需要一些較強的工具。

在題目的情景裏，容易推想到，若果限制條件又多又複雜，目標函數也很複雜時，做起來是極困難的。 ■張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校