這次分享一道關於不等式和因式分解的題目。學校課程內，大概中三左右就有不等式的課題，而因式分解則是初中數學的基礎內容，綜合應用時，可以得到一些陌生的結果。
問 題：若a > 0，b > 0，n是大於1的自然數，求證：an + bn ≥ an-1b + abn-1。
答 案：留意到若a和b調換的話，算式都一樣，所以不妨設a ≥ b。左方減去右方，得P = an + bn - an-1 - abn-1 = an-1(a - b) - bn-1(a - b) = (a - b)(an-1 - bn-1)。
由於a ≥ b > 0，因此an-1 ≥ bn-1 > 0，故此P ≥ 0，命題得證。
處理不等式的方法，除了是從較複雜的一方開始，推論到較簡單的一方以外，也可以試試看相差，比如題解中的左方減右方，看看結果是否大於或等於0。或者有時是看左方和右方的比，與1比較起來是較大還是較小。這些都是基本的思路。
題解中用上了a和b在互換時算式一樣的性質，減省了a < b的情況要重複說明的煩瑣，這點兩個未知數互換時算式一樣的性質，稱為對稱性，在平常的算式裏，留意到算式有對稱性，結果卻失去對稱性的話，也會知道推論過程中可能出錯。
留意條件對證明的作用
這次也可以留意一下，題目的條件，在證明裏起了什麼關鍵作用。若果缺乏了這些條件，又會有什麼分別？比如a > 0和b > 0，在題解裏起了什麼用處呢？要是a和b沒什麼限制，那a ≥ b時，就無法推出an-1 ≥ bn-1，例如3 ≥ -4，就有32 < (-4)2。可見a和b是正數的條件非常重要。
又可以留意一下，n是自然數的條件有什麼作用？若n可以是普遍的實數，當a ≥ b時，也無法推出an-1 ≥ bn-1，例如假設n是0，有3 ≥ 2，3-1 = [1][3] < [1][2] = 2-1。可見n是自然數的條件也有作用。
學生初接觸奧數，有時會忽略了題目裏看來很簡單的條件，尤其當未懂得做題目時，一句一句地看看答案，也可能會留意不到這些條件的重要性。往往是自己重新做一次，才發覺當中有疑問的地方。這些條件未看清楚，推論就容易有漏洞。
中學生初接觸奧數裏的證明題時，思想未必有那麼嚴密，透徹地看清楚每個條件的重要性，往往要到證明後的回顧與反省之中，才看得到當中的細節。學生讀書自學時，固然能多了這點意識，着意令思想細緻一點，但思想的漏洞，難免還是要師長指出來，才容易看得清楚。
中小學生裏，即使天資不錯的，面對數學難題時都會有些數學以外的問題，比如心態上未預備好接受挫折，或者是平常雖然思考敏捷，但當中有粗疏的部分，又未有足夠的耐性去留意到當中的漏洞。因為思想的疏漏，往往是需要詳細的表達和耐心的反省才會浮現出來，這點耐性不是一朝一夕可以培養的。也有些學生自覺聰明，一時間難以接受自己原來思想有失誤，自信心受影響。
解數學題時，邏輯結構可能很簡單，但怎樣把這點邏輯建立在一個又一個的人身上，學問就大了，即使筆者教了很多年，還是覺得有許多需要學習的地方。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
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