這次分享一道關於代數的問題，大概就是兩三個未知數之間，有些算式上的關係，然後就有些不明顯的結論。類似題目的難度差異可以很大，有時恒等變形要用得巧妙，一般來說，事前也不太容易預見到之後的變化。

問 題：

設a、b和c都不為零，a + b + c = 2，[1][a]　 + [1][b]　 + [1][c]　 = [1][2]　，證明：a、b和c中至少有一個等於2。

答 案：

若果想知道其中一個會不會是2，可以考慮(a - 2)(b - 2)(c - 2)是不是0。先整理[1][a]　 + [1][b]　 + [1][c]　 = [1][2]　可得abc = 2(ab + bc + ca)。

因此(a - 2)(b - 2)(c - 2) = abc - 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) - 8 = 0 + 4 × 2 - 8 = 0。

故此命題成立。

解題的關鍵是考慮到(a - 2)(b - 2)(c - 2)是不是0這回事。這個不是在題目裏的算式之一，而是由「a、b和c中至少有一個等於2」的條件得來。想得通這個，把算式整理一下就有答案了。這個看來夠直接，只是筆者也看過其他解法，像是因式分解的技巧，就會相當複雜。

剛剛談到由題目的條件，一下子跳躍到(a - 2)(b - 2)(c - 2)數值的討論，這種跳躍不算奇特，只要經驗夠多，要預知也不難。不過奧數或者是較難的數學裏，一些推論的步驟，跳躍和繞彎都可以很奇特，一開始時不會習慣。因為愈是接近一些已發展多年的數學，推論過程累積得愈多前人的經驗，在初學者來說，就不易明白為什麼要那樣做，或者為什麼一開始會那樣想。

於是，讀數學書時久不久就會問到，為什麼突然彈出這一步，而又沒先兆又沒解釋，看來就令人很疑惑。這可能是因為探索過程早就刪去了，只餘下一些重點，太精簡就令人感到不太自然。

以平常溝通來說，一般都是愈淺白愈好，前文後理的結構不會太複雜精細，有時看了前一句，多少也預想到之後會談什麽類型的事情，這樣理解起來就比較容易。數學書裏的題解或證明就不是這樣，多數都是當中有一步，是按平常的思路是想不出來的，所以才成為一道難題或者是一條定理，在證明過程中多少會有些難點不易想通，才需要一些比較聰明的人來發現，成為一條定理。明白了這些，就知道學數學的過程中，有許多驚奇與疑惑情況才是正常的。

有時學生來學奧數，由於本身基礎相當好，平日看着尋常的變化都是在預料之中，只要遇着自己意料之外的想法，思考方向跟自己想法大有分別的時候，疑惑的感覺就很強，多少還有點挫敗感。

這些在處理代數和數論的問題時會比較明顯，因為代數問題許多時只是一些算式，或許問題有點新意，但學生還是挺熟悉的，只是做起來拼來拼去也找不到答案，看着題解又不明白為什麼那樣變化。數論的問題比較有趣，因為談起最小公倍數和最大公因數之類的，好像小學都學過，但解來解去還是解不通。

明白到數學書跟平常消閒文章的分別，就知道需要調整一下心態去讀，比如預期多少有些難點不太易明，要些日子思索，那樣遇着看不懂的題目時，也少些困擾。 ■張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校