【青談科研】探尋蜜糖與機翼奧秘的科學：流體力學

「流體」（Fluid）是我們生活中常見的神奇物質，它沒有固定形狀，可以隨意變形，因此吸引了不少物理學家及數學家畢生致力研究「流體力學」（Fluid mechanics），以探討流體在運動中的狀態與規律。今次就和大家簡單介紹什麼是「流體」，並回顧「流體力學」的研究歷史，探討物理學家及數學家究竟如何通過空氣動力學中的重要參數「雷諾數」（Reynolds number）去分析「邊界層理論」（Boundary layer theory），以及當中仍未解決的數學難題。

水蜜糖空氣皆屬「流體」

「流體」泛指能夠流動的物質，包括氣體和液體；不少看似固體的物質，例如蜜糖、牙膏和瀝青，也屬於流體。這些物質之間的區別就在於它們「黏滯性」（Viscosity）的不同。

試想像我們向面前的一杯水和一杯蜂蜜吹氣，從科學的微觀角度來看，即是對它們的表層分子施力，而由於水分子之間的摩擦力較弱，表層的水可以自由移動；而蜂蜜的分子之間的摩擦力較強，表層分子就會被其他分子緊緊抓住，因此不會明顯移動。

古希臘已研究流體力學

「流體力學」有着悠久的歷史，最早可追溯到古希臘時代，但談到近代的「流體力學」發展，就要從18世紀開始說起。

在1738年，瑞士物理學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）從觀察液體的行為中推導出「伯努利原理」（Bernoulli's principle），建立了流體力學的數學模型基礎，判斷出當無黏滯性的流體速度增加時，流體的壓力就會減少。他的發現被視為「流體力學」成為分支學科的標誌，從此開始了利用微積分和實驗測量進行流體運動定量研究的新階段。然而，科學家在進行各種流體實驗時，若僅憑「伯努利原理」，仍然無法完全解釋流體的性質，因為在當時而言，流體本身的黏滯性和流速等其他特性，仍然是未解決的因素。

直至1883年，英國物理學家奧斯鮑恩·雷諾（Osborne Reynolds）從實驗中發現，影響流體流態的兩個主要因素，分別是慣性力（Inertial force）和黏力（Viscous force）。當流體加速、減速或者改變方向時，流體的慣性會使它保持原有的運動狀態，此稱為「慣性力」；而「黏力」即上文所指，在流體流動過程中，分子之間所產生的阻力。

雷諾的研究為流體力學帶來了重要的突破，他確立了用來計算流動中慣性力與黏力之間比率的算式方程，亦即為「雷諾數（Re）」 ，以計算出流體流動中不同力量的相對大小；而這條算式方程促使了另一流體力學概念—「邊界層」（Boundary layer）的誕生。

雷諾數與邊界層理論

在1904年，被稱為「現代空氣動力學之父」的德國物理學家路德維希·普朗特（Ludwig Prandtl）提出了「邊界層理論」，將理論和實驗結合，以雷諾數（Re）解釋了流體與固體物體交互作用時，因流體分子的黏滯性效應及速度梯度(velocity gradient)的存在，產生一層極薄的剪力流層(shear layer flow)，此薄層被稱為「邊界層」。此理論可以說得上是「流體力學」的一項重大進展，有助科學家根據雷諾數（Re）的大小，確定流體在邊界層內的流動方式，是屬於「層流邊界層」(Laminar boundary layer)，還是「紊流邊界層」(Turbulent boundary layer)。

當雷諾數（Re）少於2,000時，流體在邊界層內以非常有序的方式流動，厚度相對較小，流體速度的變化是平滑的，流體的黏滯性力量相對較大，因此可判斷為「層流邊界層」；若然雷諾數（Re）大於4,000，流體以不規則、混亂的方式流動，分子之間的運動是隨機的，邊界層的厚度相對較大，流體速度的變化是不連續的，流體的慣性力量相對較大，可判斷為「紊流邊界層」。當雷諾數（Re）在2,000 和4,000這個範圍內，流體的黏滯性力量和慣性力量之間的競爭會導致流體運動的不穩定性，邊界層可能會出現層流和紊流的混合。

未來的挑戰

流體力學不僅是一門純科學的研究領域，它在物理學和工程學的廣泛應用中也扮演着重要角色。例如，在空氣動力學領域中，用於設計增加飛機機翼浮力的方法。然而，至今仍然有許多關於流體力學的奧秘未解，仍然有很多需要解決的數學問題，尤其是在邊界層理論中關於三維方程式的「適定性問題(well-posed problem)」。

在二維模型中，前蘇聯數學家奧爾加·奧列尼克（Olga Oleinik）以其獨特的洞察力引入了著名的Oleinik單調性假設，以證明適定性的存在。然而，當我們轉向探索三維空間時，事情變得更加複雜且具有挑戰性。在這個範疇中，沒有一個普遍適用的假設可以確認「所有方向都是單調」。因此，尋找能夠推論出在三維空間中有限正則適定性的假設，成為一個相當困難的問題。這需要數學家們發揮創造力和深入思考，尋找更具挑戰性的方法和假設，以解決這個引人入勝的問題。

話你知

飛機機翼的上表面是流暢的曲面，下表面則是平面。根據「伯努利原理」，機翼上表面的氣流速度會大於下表面的氣流速度，所以機翼下方氣壓就大於上方氣壓，使空氣能夠托起沉重的飛機。

◆授課人：楊彤教授香港科學院院士、香港理工大學應用數學系講座教授。

◆圖、文：香港科學院提供