問題：小於50的正整數，以三個連續數為一組，當中有多少組，三個數相乘起來的積，為20與18的倍數？

答案：把20與18分解，得20=2²×5及18=2×3²，由於20的因數之中有5，18的因數中有32=9，也就先看看50以內5的倍數附近兩三個數，有沒有9的倍數，也要看看各組之中，三個數乘起來，是不是22=4的倍數。

那樣會找到{8, 9, 10}, {18, 19, 20}, {34, 35, 36}, {35, 36, 37}, {43, 44, 45}及{44, 45, 46}，由於9的倍數在50以內只有5個，很易找完。

故此只有6組。

解題時，先分解出20和18的因數，看看各質因數的最高次方，再去在三個連續數當中去找，心算一下可以找到許多組合，再檢查仔細確認，就找到了答案。

解題需要的預備知識都是小學就可以懂的質因數分解，不過做起來想有效率，也要一點點巧思，才會找得快一點。比如先留意9的倍數會比較快，再配合5的倍數，那樣兩個條件下，篩選了一些出來，再刪去三個數乘起來不是4的倍數那些，做起來就快一點。

同樣是三個條件，要是先看三個數乘起來是不是4的倍數，然後再找當中5的倍數，也是做得到的，不過9的倍數比較少，搜索起來快得多了。

題目分解正整數與搜索組合當中，運算起來未算太複雜，在數學競賽題裏也是合理的，加上有可以加快檢索的方法，也就多點巧思的味道，作為競賽入門題也不錯。

要是把各個數字改得大一點，運算就複雜了許多，就要用計算器或電腦才能夠做了。有時數學競賽的題目，也是一些簡化了的離散數學題，也就是工程數學的基礎，不過當中會有一些運算複雜性的限制。平常電腦搜索幾百個數是一兩秒之間的事，但人腦很難幾百個地搜索，比如逐個數分解，這類沉悶而費時的題目是無法提起學生興趣的。

做題時發現各數字較小的情況下，可以嘗試多用一些可以推廣的巧思，加快檢索效率，思路多了再去解決數字較大的情況，配合計算器或電腦，也就如虎添翼。在小題目當中找到一些解決方法，數字改一點、條件改一點，也能解出來，這樣的解法是好的，好在應用範圍更廣泛。做題時懂得在小題目裏找好解法，面對日常的事務和問題，也就會多思索，怎樣找到普遍適用的方法，可以應對更多的變化。有時特殊的問題能用上特殊的解法，也是一種能力，但這需要一點靈活的聰明，比較難練。反而是面對平常的問題，花心思去想一些較能廣泛應用的方法，是比較易學易行的。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校