題解假設原式能分解，應用恒等式性質代入特殊的數值，知道在特殊情況下左右兩方不相等，因此得出矛盾，從而證明算式無法分解。

在技巧上，平常考慮算式能否被分解，嘗試待定系數法，先在系數未知的情況下找線索，也是一個通用的思路。不過就本題而言，若純粹展開右方的括號，再依次逐個系數討論，由於系數眾多，未知數又多，分類起來就顯得複雜。若結論是未確定的，比如題目並不是要求證明不能分解，而是要判斷能否分解，那在探索的階段難免要展開括號觀察一下。

這題要證明不可分解，因此也會由尋找反例中着手，也就是在假設普遍恒等的情況下尋求反例，就要代入一些特殊的x與y值，看看有沒有明顯矛盾。留意到左方在未知數為實數的情況下最小值為1，而右方的分解式選取特殊數值很容易令其中一個括號化為0，於是找到解題方向，選取適當的x與y值，令右方其中一個括號為0，那樣就必然小於左方。上邊的題解裏是取y為0的特殊情況。

這道證明題運用待定系數法，然後選取特殊數值作反例，也同時是證明無法因式分解的好例子，指出了一個較通用的思考方向。

上邊也提及特殊值的出現，題解中的情況是左方最小值跟右方最小值有分別，也就有了特殊情況，可聯想到若果左右兩方恒等，那麼對於任意的x與y來說，左右方算式得出的數值，範圍應該是一樣的。

反過來說，若是想指出等號左右兩方得出的數值可能有分歧，最好就由範圍裏的極端數值入手，比如最大最小值，看邊界上會不會有分歧。這個思路容易找到證明恒等式的方向；若是找反例，就往算式值域邊界上找。

平常做課內的數學題，將代數式做因式分解是個常見的問法，但很少談起怎樣證明無法分解。這題就給出了一個好的思考方向，打開一新的思路，上述題目也同時可以成為一個類別的題目，比如證明一些算式無法分解的證明題。

該思路值得加強練習，因為嘗試分解之後確定算式可分解，是先決條件，在知道可分解之後，才有如何分解的問題，這在因式分解練習的先決條件中加深了基礎。● 張志基

香港數學奧林匹克學校

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