問題：算式 ABCD =AD中，各字母代表1至9其中一個數字，不同字母代表不同數字，求四位數ABCD。

答案：算式兩邊取平方，得ABCD=AD²，觀察等號兩邊最左方的A，發現只有A為9時，才可以成立。

然後留意個位的D，由於D同時是D2的個位，而平方數的個位數只能是0,1,4,5,6,9，撇除不合題意的0及9，以及驗算後個位不符合的4，AD只能是91,95或96。

其中91²=8281，數字重複，不合題意。95²=9025則有0，不合題意。

96²=9216是唯一符合題意的算式，得知答案為9216。

題解裏先把有根式的算式化成平方，然後觀察等號兩邊相同的數字，驗算後很快找到A，根據平方數個位的特質收窄D的範圍，刪去明顯不適合的選項，之後就在驗算裏找到答案。

找A的時候談起驗算，這裏仔細說明一下具體怎樣會快一點。留意到兩位數AD大概是三四十左右，此時平方後才會出現四位數，若兩位數是40，取平方是1600，得出千位數是1，小於兩位數的十位4，不合條件。然後依次嘗試50, 60, 70, 80的平方，會發現千位普遍小於兩位數的十位，於是很快就看得出A是9。這裏若果數學化一點，要仔細用代數不等式估算也是可以的，不過上邊的思考方向比較淺白。

平方數個位的特質，簡單來說，在平常1×1, 2×2, 3×3,…,9×9,10×10當中，得出的個位只能是0,1,4,5,6,9，這個規律在奧數訓練裏通常小五小六的學生就知道，但未聽過的話可能到高中都不會學到，屬於課外知識。

這題在奧數是填算式的課題，用上了根式的話可能就在中學裏才會見到，小學未學根式，要問同樣的題目就要寫成AD×AD=ABCD那樣，用直式表達。

這題改動一下條件，比如把ABCD的次序調動一下，變化就挺大的，未必有解。要是想在探索中找點趣味，比如改成AD²=DBCA會不會有解，或者有多少個解也是有趣的問題。這些探索也能加深原本題目的理解，鍛煉相關技巧。

例如，剛才出的題目AD²=DBCA，也會知道右方的A是平方數個位，可能是1,4,5,6或9，之後就可以代入左方的A再驗算，然後做些推論和探索，看看能不能找到能配合的D，作為右方的千位數。

這樣的小探索可以為本身的題目做延伸討論，在學習競賽題裏是有作用，因為競賽題一般變化大，見到一道難題很少很快就遇到同類的，自行修改題目作進一步探索遠比在網上搜尋同類題目來得方便。當然，若果學生本身已經有個豐厚的試題庫，那又是另一回事。

對於平常累積經驗來說，由個別經驗中看清事情的脈絡，改動一下條件，再做各方面的推理，不失為深化對題目理解、積累經驗的好方法，亦能減少遺忘知識的可能。● 張志基

香港數學奧林匹克學校

奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。