問題：將數字3, 4, 5, 6, 7, 8及9組成一個七位數，使得連續四個數字之和是3的倍數，那樣的數共有多少個？

答案：將這七個數各自除以3，得餘數分別為0, 1, 2, 0, 1, 2, 0。若果把七個數字組成七位數，連續四個一組，那樣由左起第1至4個數字之和，與第2至5個數字之和，都是3的倍數，當中第2至4重複，於是第1與第5個數字，餘數相同。同理得知，第2與第6，第3與第7，都是餘數相同。

以上已經有三對餘數相同，餘下左起第4個數字，餘數必是0，有3個選擇。

之後考慮第1個數字，有6個選擇；然後考慮第2個數字，有4個選擇；餘下考慮第3個數字，有2個選擇。

於是共有3×6×4×2=144個選擇。

題解中先對各數字進行餘數分類，考慮各自除以3的餘數，之後發現部分數字的餘數會成對出現，剩下一個數的餘數必是0。之後考慮到各個數有多少個選擇，相乘後就得到答案。

上邊的題目的知識門檻較低，只是將幾個數字拼成七位數，令部分數字和是3的倍數，題目很易明白，而且解題技巧中也只用上了乘法。

其中，較特別的一步是做了餘數分類，將原本的七個數化成了餘數是0, 1和2的三組，那樣算起來簡單一點。題目屬於低門檻、高技巧的一類，對於初次接觸競賽數學的學生有開闊眼界的效果。

觀察題目裏七個數字，若是隨意改動，未必可以拼成那樣的七位數，發現題目成立條件是能夠通過餘數分類為3對。若果改動一下，七個數字中可以包含0，則又要考慮0不能放在最左邊，問題又要再分類討論。若果有0, 3, 6及9，那樣成對的情況又變得更複雜。

另外，連續四個數的條件若是改動，變成連續三個數之和，那樣第1、第4與第7餘數會相同，那樣餘數只能是0，其餘的排列就變得少了，缺少發現特別的第4個數字的趣味。

數字之和是3的倍數這個條件可以改動一下，比如改成4或5的倍數，那樣在0至9共10個數字當中，餘數的分布雖然有分別，但做起來也是大同小異。

做完一道數學題之後，若稍微改動一下條件，也會產生許多小趣味。時常改動，慢慢發現在一些常見情景下各條件普遍的作用，對平常做題目有益處。不過，也不用時刻想着怎樣通過改動發揮什麼巨大的作用，即使簡單地改動一下數字，已經可以令自己對題解裏的步驟想得通透些，明白各資訊的改動怎樣影響整體的論證。

順着一些能理解的問題做些小探索，對訓練邏輯能力是有好處的，練起來又易知易行，比起練難題感覺親切多了。● 張志基

香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。