問題：三位數ABC，CAB和BCA相加後，得出的和能夠分解為四個不同的質數，求A×B×C的最大值。

答案：三數相加，得出的和為(100A+10B+C)+(100C+10A+B)+(100B+10C+A)=111(A+B+C)=3×37(A+B+C)。

考慮A+B+C的最大值為27，這時A，B和C都是9，但27不能分解為兩個不同質數之積。

依次考慮27以下，可分解為兩個不同質數之積的數，最大為26=2×13。

這時若A，B和C愈接近，相乘為最大，取三數字分別為9，9和8，得積為648。

數學競賽裏有一類題：一個數各個位之間有關係，判斷它是什麼數，或者有多少個符合條件的數。這些數字問題也有些常見的思路，比如說24=10×2+4，代數形式就有A—B—=10A+B，這樣各個位的數字都有了代數表達，列算式找關係也容易些。這次的題目也用到這樣的代數表示。

題解開始時，把各數用上代數表示，然後留意到111的分解形式，跟題目要求還差兩個質數。之後估算着A，B和C，先考慮總和為最大，發現未符合條件，再依次找較小的總和，之後再考慮此總和分拆成三數相加後怎樣得出最大的積，最後就找到了答案。

開始時用起各數的代數表達式，對於初接觸奧數的學生來說，會有一些陌生，一個數突然變出三個未知數，看來不太熟悉，這個要習慣。若覺得難解，用實在的數字做例子聯想比較易明。

用數字來探索，比如把A—B—C—看成123，那樣題目中的總和加起來就是666。或者可以將A—B—C—看成是245，加起來就是1221，其中規律就明顯些。

這些用實際數字探索的階段，在初接觸題目時，可以加深對題目情景的了解，從中找到規律、歸納經驗，其中蘊含具體到普遍的思考過程。不過題解寫得比較工巧時，往往會省去一些具體探索的階段，直接用代數形式展示出來。當然，若解題時一開始就看得穿代數形式，直接觀察到線索，也未必需要用上數字。

題目裏，最後探求三個數字的乘積何時最大，先找總和最大的情況，之後依次找到26，然後分拆出三數相加的情況。這裏也有細節，比如26這個數，除了比27少了1之外，也是由於它是兩個不同質數相乘，符合了連3和37一起計算、總和是四個不同質數相乘的條件。若條件改成是三個不同質數相乘，就不會考慮找26來試，而是會找23。

這裏26這個數，也令分拆的形式簡單一點，因為它是9，9和8相加，沒什麼其他分拆方式，最多是調換次序而已，所以乘積也是明顯的。若條件如上邊所說，改成三個不同質數相乘，要把23分拆成三數相加，那怎樣拆乘積最小就沒那麼明顯了。有興趣的讀者也可以想想看。

平常看一本數學練習，詳解裏除開數學的解釋之外，有時會談到開始解題時如何探索和事後怎樣反省，或者進一步追問線索，這些對數學學習都是重要的。這些提問的形式多了，探索的方式多了，學起數學來解題思路更加清晰，長遠看來思維能力也會明顯地提升。◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

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