這次談一道聯立方程的問題，找找當中的系數。

解題中，一開始消去了系數較明白的未知數，然後在聯立兩道方程之中，令到系數一樣，比較之後就得到答案。

這裏做起來時，若果未觀察到z的系數比較簡單，就把各項搬來搬去、加加減減的話，由於有未知系數a和b，漸漸會變得麻煩。或者按着平常的思路，用高斯消去法，先把x的系數消去，也會麻煩起來。以競賽題來說，是希望學生先觀察後運算，比起純粹應用一些既定的想法，多點靈活的思想。這樣有意識地選擇去消除z，就是走對了一大步。

之後兩式有無窮組實數解，用圖像想像一下，也容易得出結論。較容易疏忽的地方，可能是要注意到先把常數項轉成一樣，才去比較，之後的發展就會順利。

這些聯立方程問題，若是幾元一次的方程組，由小學奧數開始就會不斷提及，始終線性代數的問題，在數學基礎裏太重要。在課程內，初步來說，二元一次方程組，是在探究兩道方程、兩個未知數求解的情況，之後一方面會談及三元一次方程組，另一方面又會講到兩道方程，一道是線性的，一道是二次的，聯立起來的問題，當中帶出了消元法的思想。

在線性代數方面，數學競賽裏的問題較多是一些特殊設計的數字，比如系數有特別關係的，運算起來比較簡便。

一般的線性代數，最大的困難都是計算繁複，若是人手計算，或者用到普通計算機，做到有未知系數的三元一次方程組，已經很麻煩了。再多幾組方程的話，即使有可計算代數的計算機，也很難做。於是競賽裏，想考驗學生的靈巧想法時，那些數字都比較特別，多數不會順着最普遍的想法就做得好。

數學競賽裏，見識一下線性代數的難題，想做到多點，又想學會綜合向量與幾何思考，就要去看談線性代數的書了，因為線性代數許多結果都不是奧數訓練三兩課就講得完的事。不過話說回來，中學生學到三元一次方程組，談到矩陣，又結合了向量和幾何，又可以解得了奧數裏相關的問題，已經水平挺好，不容易了。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。