這次談談一道四位數的問題。

問題：四位數ABCD各數字不同，且都不是0。ABCD - DCBA是一個正三位數x。計算x的最大與最小值之和。

答案：ABCD = 1000A + 100B + 10C + D，類似地DCBA = 1000D + 100C + 10B + A，因此ABCD - DCBA = 999(A - D) - 90(C - B)，由於這是一個3位數，A - D只能是1。而後方的C - B最大是9 - 1 = 8，最小是1。故此兩數相差最大為999 - 90 = 909，最小為999 - 90 × 8 =279。例如最大值的情況，有4563 - 3654 = 909，最小值的情況，有4193 - 3914 = 279。

因此x的最大值和最小值相加為909 + 279 = 1188。

解題中先把四位數變成代數式，然後找相差時，把類似的項放在一起考慮，最後估算出最大最小值的大小。

這當中有些細節要注意，比如A - D只是1，原因是若果大一點時，乘上999之後，就接近2000了，那之後的90即使乘以9，也會出了個四位數來。後面也有個細節，比如C - B為什麼最小是1，從表面來看，最小好像可以是負數，但那樣前方的999加上個正整數，又會是四位數。這些想一想其實也容易明白，只是補充一下，看來就淺白些。

話說回來，其實把相差的算式，寫成999(A - D) - 90(C - B)這個樣子，也需要有足夠經驗。始終兩數相減起來，直接的形式，還不過是一道有四個未知數的算式而已，即使看來系數有部分相同，但寫出來後，能找到許多有用的線索，或者聯想起可以做估算，不是那麼直接就可以想得到的。

後來估計到了最大最小值，那是不是就可以直接相加出答案了呢？這道題目好像可以，只是謹慎一點，還是先找個具體例子，說明這樣的情況真個可能，有相關的數字，會找到最大，又有另一組數字，會找到最小，那才好說這些最大最小值是真的可以達到。這樣就避免了運算一大堆之後，以為估計到了最大最小值，後來才知道，還有其他隱藏條件令到這些數值不會出現。

這些關於數字的問題，各個數字用上了代數，然後套入條件後，多數都是一些不定方程之類，未知數挺多，要在觀察算式之中看到一些特徵，然後思路才容易開展。

看答案時，一直看着別人的思路，好像有人帶着自己走路，那當然容易一點；若是自己走，就是要找到個好看的代數形式，恐怕也有點難。

上方的題目，從難度來說，若是放在高小的程度，就算是偏難的，到了中學時，用來入門也就挺好，要是學生到了高中才學奧數，之前未接觸過的，做起來也不算易。

其實奧數除了在學生時代用來鞏固基礎和提升能力以外，一些數學愛好者在工作之後，也會用來消閒一下。這時候，奧數題的角色，就有點像流行曲和書畫，是一些技藝，有消遣作用。有時年長了，對數學仍有一點興趣，跟身邊的青少年也可以談一點數學，那樣社會的數學文化豐厚了，好的想法也容易有了土壤，容易生根發芽，是好事來。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校