【奧數揭秘】尋找格點中的趣味
問題：有一個以格點為頂點的長方形R，各邊平行於坐標軸，它包含的各邊上和內部的格點。若該長方形較短邊多了一倍，新的長方形，包含的格點數，比R多了304，求R的最小面積。
答案：設R的長和闊分別為m和n，則面積是mn，其中m＞n。長為m，則長上有(m+1)點，闊為n，則闊上有(n+1)點，若闊多一倍後，則闊為2n，有(2n+1)點，比之前多了n點，故此格點總數相差，為n(m+1)=304。右方分解後，可求得各因數，分別為1×304， 2×152，4×76，8×38和16×19。要計算R的面積mn，分別把各乘式右方的數減1，得1×303=303，2×151=302，4×75=300，8×37=296和16×18=288，因此R的面積最小為288。
直角坐標上，坐標皆為整數的點，稱為格點。這次談談格點上的問題。
在計算面積時，先設定了長和闊，之後留意到線和點的數目相差1，從中找到多出的格點數，與長和闊的關係，之後用上正整數分解的特性，然後依次找到對應的長和闊，驗算中就找到了最小的面積。
初接觸競賽數學做這道題目時，可能想起點與線之間那些相差1的部分，在加1減1之中有點混淆或是小失誤。也由於相差有304個點，數字比較大，可能未懂得很快就用代數式表達，要先由一些小圖形開始探索，比如先畫十點八點看看情況，再普遍化，那樣容易入手一點。之後看得出代數式裏長和闊是正整數，用上了整數的因數特徵。這個在競賽裏才有較多相關題目，課內較少談到。
這次提到的格點，談起來好像要講坐標似的，似乎很抽象。但其實在初小的時候，談起用橡筋在釘板上圍成正方形，那些討論已經出現過格點的概念。初中也談起類似的概念，比如等距方格，平常的格點是單位正方形密鋪平面後的頂點，而等距方格則是等邊三角形，密鋪平面後的頂點。
關於格點，有個著名定理也談起，以格點為頂點的多邊形，當中的面積、內部的格點數與邊上的格點數是有關係的，叫做Pick's Theorem，有興趣的讀者也可以在網上找找。
也有些格點相關的問題，課內沒怎樣談起，有趣又易明的。比如在一點上，能「看到」多少其他格點？所謂「看到」，就是兩點連起來，線段上沒其他格點的意思，非常有趣。或者問起，若果站在一點上，能「看到」某個圖形內部有多少個格點，也可以是個挺難的問題。
要是未覺得夠有趣的，還可以想起，現在討論的格點，都是在平面的直角坐標上的，要是立體會怎樣？那就是討論坐標為（x,y,z）的時候，三個坐標都是整數的情況，想再抽象一點，還可以思考更高維的情況，再加上剛才提到的Pick's theorem和由一點「看到」其他點的概念混合起來，思索一番，或者找書看。
數學在課內是主科，學生有時想起來就多了幾分認真嚴肅。其實有趣的問題也挺多，而且想不通又可以不用想，實在沒什麼煩惱的。在課外思考多些數學相關的問題，多想總是有益處的。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
◆ 香港數學奧林匹克學校
