【奧數揭秘】一題能有多解 評鑑不只好壞
這次的題目，關於六邊形的面積，在不同的解法當中，也會談談怎樣評鑑。
先把相等或有關係的邊，用未知數x和y表示好各邊，之後留意到FD為兩個直角三角形的斜邊，用上畢氏定理，就找到x和y的關係。計算面積時，剛好有這個關係相關的代數式，代入化簡後，就得到了數字的答案。
這個方法做起來，若是直接計算面積，會出現一道代數式，有兩個未知數，看來是不太好解。即使用上了畢氏定理，也預料到，有些二次方的項出來，若是想去把x用y來表示也不太好做。於是後來竟然恰巧全消去了，只餘下一個數字，那看來有點「巧遇」的感覺。
「巧遇」在解難中，也真是有的。初學一些課題，往往經驗是淺的，於是解題時都是見步行步，要累積挺多經驗之後才能夠看得遠一點。競賽題中，推論往往比較深遠，步驟多，也可能會封住了直接計算數字的路，用各樣複雜的算式表現出來，然後又要巧妙地繞過，於是探索之中，也不時有巧遇的情況。
談起巧妙的解法，這題也真是有個很巧妙的做法，一行就做到，就是把圖形用上了「分身術」似的分成四個，像圖三那樣，拼在一起，那個接合處，剛好100˚+80˚=180˚，是直線，於是面積就是一個大正方形減去小正方形之後，再平分四分，也就是¼（17²-12²）=36.25。早前見識到這個解法時，心裏也禁不住一聲喝彩。
兩個解法比較起來，哪個簡單是明顯的，只是簡單的解法，看來也像「神來之筆」，沒那麼有跡可尋。用來欣賞是好看，但學起來又好像有點虛無縹緲的感覺。題解之中，見到一樣的邊或有關係的邊，就用同樣的未知數表示，思考過程踏實多了，容易見到可行實在的進展，就是一時未想到，至少看得出大概接近了答案。
這裏也可以問一問，哪一種解法算是比較好？平常來說，好像解法簡短就好，那就是後者較好。只是學習起來，前者雖然看來步驟多，但容易想到多幾步。各有好處，就是靈巧與踏實的取捨而已。而題解中的做法，算是比較易學易入門，所以長篇一點也值得說。
在一題多解之中，評鑑各樣解法未必只有好壞兩個選擇。事實上，一種解法往往有多方面的好處，有時是易想出來，有跡可尋；有時是簡潔精巧，有時是用處廣泛，數字情景改動一點，也能處理。
在奧數班同學之中，多幾個解題的能手，交流各樣解難的技巧、評鑑解法的好處時，多了討論，對於什麼樣的解法，有什麼好處，思想就豐富多了。之後看各樣的解法，思考起來，角度也多很多。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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