【奧數揭秘】五邊形與五角星
這次談起一道面積比的問題，面積比的形式也有點特別。
問題：將正五邊形各邊延長，得五角星。若五邊形與星形的面積之比為sinθ，其中0°<θ<90°，求θ的值。
解題過程中，先把五邊形和五角形面積之比，化成一部分的三角形與四邊形之比，之後用上了面積公式，當中也要找找那些夾角，而計算中各邊的長度又約去了，然後在三角函數的化簡中，就找到了相關的角。
開始時可能有個疑惑，就是那個究竟是圖中哪個角？若果思路就糾纏在這裏，設這個那個角是，可能就用了些時間，走不出來。
又若果沒用上三角形與四邊形的比，而是整個五邊形和星形的面積來找公式的話，那樣可能會設了其他未知數，或者用上了各式各樣的邊做計算，那樣約簡起來，未必那麼方便。
這裏用上了對稱性，然後用上了兩個小部分的面積比，是故意的，因為預見到用上面積公式A=1/2 ab sinC時，至少那個AK是重複了，在取比例之中會約去，變得簡單些。之後又見到AB跟AF可連上關係，也容易約去了。
最後用上了公式，配合一些繁分數的運算技巧，以及三角函數的基本性質，就找到了θ。
題目一開始談起面積比，看來結果有個三角函數，好像是複雜的，要是純粹要求計個數出來，會不會更簡單？這也不見得，若果沒提起那個比，可以最終只剩一個三角函數的樣子，可能解題起來，不知設了什麼長度角度作未知數，解出了一大串的算式，三五個項，也不知道原來相等於一個簡單的三角函數。原本以為是麻煩的東西，竟然相反是個好提示來，初時未必看得到。
這題解起來，若果對於面積相關的結果比較熟悉，解起來大致有點方向感，知道找一小部分做起比較易，那就挺快做到的。數學競賽題有時也在訓練這些，也就是在一些看來有點陌生的問題中，表面上做法有許多可能，但解起來時，若果經驗夠豐富，往往可以有些模糊的方向，大概知道怎樣簡單一點。
在課內的數學裏，讀到可以考試拿個八九十分，想再做好些，心態也多少要有點成長。比如要知道，考試最後那十多分，要拿起來，付出的時間和心思要比較多，分數提升起來，同樣是多十分，由六十升到七十，跟由九十升到一百，是兩回事。到了學數學競賽題，付出的心思和時間，又更不成比例。
有時學生成績開始進步了，心態上還是想找公式，找題型，找個技巧用幾下，成績就會好，那只是足夠考試合格的讀書方法。面對競賽題，做起來，還是先下了功夫，多做題目，別要太早求速效或很快有成績，那才是個比較好的心態。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
◆ 香港數學奧林匹克學校
