【奧數揭秘】新概念推論迴文距離
這次嘗試引入一些新概念，讀者可以看看做起來怎樣。
問題：對於十進制表示的四位數 ABCD，其中 A≠ 0，定義「迴文距離」L為 L = |A-D| + |B-C| 。問有多少個四位正整數，迴文距離為1？
答案：1只能分拆為1與0相加。
若A與D相差1，比如A為1，則D可為0或2，有兩個選擇，再取A為2, 3, … 直至A為8，D仍有兩個選擇，但A為9時，D則只能選8。這時B與C相同，可取0至9，有10個選擇。故此這情況下，有（8×2+1)ｘ10=170個選擇。
若A與D相同，則A與D可同時為1至9，有9個選擇。而B與C相差1，則B較小時可以是0至8，有9個選擇，同理，C較小時亦有9個選擇。故此這情況下，有9×2×9=162個選擇。
兩情況綜合而言，共有170+162=332個這樣的四位正整數。
題目做起來，順着迴文距離的定義，了解到四位數上，千位與個位的關係，之後在列舉之中，看清楚規律，然後用上乘法，再由分類討論之中，找到兩個情況各自有多少個選擇，就得到了答案。
這裏用到的迴文距離的概念，大概只是題目裏創造出來的，其他中小學奧數書裏也沒見過。有時奧數題裏，想在一些普遍情況之中，加入限制條件，然後做些估算，或者數算之類，就會定義一些新概念來，這是挺常見的做法。
順着題目新定義的概念，再計算一番，也可以練習一下如何靈活運用新概念去做推論。這個跟課內的題目多數是用上已有知識去解題，要求又高一點。有時新概念定義出來有一些條件，若學生理解力未夠，連開始解題也有困難。
談起今次定義的迴文距離，也有相關概念──迴文數，就是那些12321之類的，由左到右讀，或是由右到左讀都是一樣的那些數。這個迴文距離，看來是跟迴文數有關係。若迴文距離為0的四位數，那就是A和D相同，B和C相同，就是那些形式如ABBA的迴文數，例如是1221或者2332之類。
那麼這個迴文距離，可以看成是四位數有多像一個迴文數的量度方式。若果距離剛好是0，就是一個迴文數，要是距離大一些，跟迴文數就差得遠些。只是這樣理解，其實也只是參考而已，比如仔細看4332和4563，兩者的迴文距離都是2，但前者的百位和十位都是一樣的，倒過來讀有兩個數字是一樣，看來比後者更似迴文數，只是這個在迴文距離的角度看來，是一般的相似，所以數字表面看來，似不似一個迴文數，跟它的迴文距離是否相同，是不同的概念。
若要表達剛才提到，表面看來似不似的意思，是要定義另一些量度相似度的方式。
今次的題目提到了一種量化相似度的想法，就是除了平常看一個數是否迴文數之餘，又引入了有多相似的量化方式。這種量化差異，然後減少差異的想法，在數學裏也不時會見到。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
◆香港數學奧林匹克學校
