奧數揭秘：談正方體平面穿過頂點數算
這次的問題，談及正方體上有多少個平面穿過其中幾點，這情景也挺常見，只是仔細問來，數算也挺有技巧。
問題：有多少個不同的平面，會穿過一個正方體至少三個頂點？（見圖）
答案：大致來說，把一些旋轉對稱和軸對稱的情況，歸為一類。那樣每類只需舉出個別例子，再看同一類有多少個，之後加起來就可以了。
第一大類是三點有兩點相鄰的情況，比如平面穿過AB，那樣第三點來說，C, D, E和F都是正方體的面，是同一類，若第三點是G或H，則平面穿過正方體內部，跟穿過ABC那一種不會成對稱關係。
故此先有兩小類，就是比如穿過ABCD那些，在正方體表面的一種，這些明顯有6個面。
另一小類，是穿過ABGH，是平行的兩條棱，又不在同一個表面的那一種，這些12條棱中，有6對，因此有6個這些平面。
第二大類，是每兩點都不相鄰的情況，比如A可以連去C, F或H，這三點的情況都可看成是表面正方形的對角線，而歸為一類，因為有對稱關係。而另外A又可以連去對角線的G，但這樣第三點就必然會跟A或G相鄰，這在第一大類中已計算過。
故此只需考慮AC相連的情況，而第三點不能與A或C相鄰，只有F或H，兩者對稱的關係，因此只考慮ACF的情形。ACF這三點的特徵，就是同樣跟頂點B相鄰，那樣正方體有8個頂點，也就對應着8個這些平面。
因此，共有6+6+8=20個題目裏要求的平面。
憑空心算難 找重點梳理分類
題目做起來，若果只是憑空心算，沒錯實在是挺難的，尤其若果初學這些數算的題目，看着圖就是寫寫畫畫，又沒作記錄，想着時，總能說個數字出來，但即使錯了幾次，也未找到正確的答案。
若是有心思去列舉出來，要說服自己，那樣沒遺漏沒重複，也是挺難的，那個說法要簡潔嚴謹，也是要練過許多時候，才想得清楚。幸好正方體是個有多種對稱的形狀，那樣談起平面要穿過三個頂點時，只需要一個例子，就可以推想出同類的情況。
當中困難的地方是，在具體例子中，固然能由一個找到一類，但怎樣好好地說明，這些分類就完整，沒遺漏的情況？上邊就用上了「有沒有兩點相鄰」這一點，來把大類分出來。這個重點，不是寫寫畫畫地想像時就容易抓得住，知道可以用來幫自己把分類說清楚的。
做題目時，初時可以具體例子，配上一些直觀的想像，再找找特殊例子，然後看些特徵，推想同類的情況，之後把分類的方法精煉一下，找些重點梳理好分類的方式，簡潔地表達出來。這些在處理較難的數學題時，也是很常見的做法。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
