【奧數揭秘】反射後的三角形
這次談談一道三角形，與反射後的圖像重疊的問題。
題解裏先由反射帶出各樣基本資料，然後用代數表示反覆出現的未知長度，之後用上了面積比和反射的性質，看到面積相等的三角形，就求出了未知數。再由反射的性質，看到有足夠資料，聯繫着k和其他已知長度的邊，最後就找到了k。
這題做起來，初時用上了反射的性質，然後推出一些線段的長度來，也是典型的步驟。之後見到未知數k，好像也未知怎樣可以聯繫得上已知的許多資料。當中那個未知數x代表的線條，為什麼要特別地關注，而沒有考慮設其他線段為未知數y之類的，也有個具體原因，就是題目裏中線的資料，令人知道BM和CM相等，再由反射之中，又另有B'M和C'M相等，這個長度在圖裏出現了4次，而且又聯繫上中線的資料，看來這條線牽連甚廣，特別地表示成x，再由x表示其他，是有點好處的。
這樣用x表示各線之後，其實已經見到ΔEMC三邊都跟x有關，又看到ΔABC也跟x和k有關，於是若果解得了x，就可以用餘弦定理解到k了。到了這個地步，找k的問題，就可化為找x的問題，策略上也多了個方向。
上邊解答時，用上了面積去考慮，然後找到一對三角形面積相等，之後解出x來，也沒那麼明顯了，大概都是零零碎碎考慮過面積這回事，也考慮過一些邊的長度，然後有一下子聯想起兩件事，未必很有策略地找到出關係來。
做多了幾何題，經驗多了，有些小習慣可以改良。比如按比例用原子筆畫好圖，寫好題目資料，再以鉛筆探索一下各樣資料，需要時就擦去重新探索。或者見到各資料未有方向，也可將關係密切的資料嘗試用盡量少的未知數全部表示出來，那至少知道需要多少道方程，才可以解通許多資料。又或者是，題目裏的未知數若未能直接算出來，那可不可以化成找其他未知數的問題，找到後，再回去解原本的問題。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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