【奧數揭秘】直式下的數字是多少？
這次談一道類似填算式的題目，但又不是全部數字都找出來，當中有點好的想法。
解題之中，主要是用上了9的整除性，就是各數加起來，最終的和各位數字和，跟加起來的幾個數，各位數字和，除以9的餘數相等。比如12 + 34 + 56 = 102，就有1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 9 × 2 + 3，而1 + 0 + 2 = 3，兩組數字和，都是除以9餘3。這樣看的話，就見到45 - J和J + 6除以9的餘數相等，後來就在檢查中得到答案了。
最後檢查那一步，若果用同餘的技巧，也可以計算出來，不用逐個數去試。即列出45 - J ≡ J + 6(mod 9)，移項得49 ≡ 2J(mod 9)，左方取餘數得4 ≡ 2J(mod 9)，然後左右方各乘5，得J ≡ 2(mod 9)。用同餘技巧，計起來就直接些，不用試，只是知識門檻又高了，沒上邊的說法那麼易懂。
這道題的想法挺新奇。平常做填算式的問題，大概都是找各個數的線索，如什麼範圍之類。而這一題裏的未知數也多了點，可能性多到試也試不出來，這感覺一下子就會嚇怕許多人。解題中的想法，完全避開了試數字，而是用整體的數字和作觀察，再用上同餘性質作考慮，是挺有創意的想法。
題目裏說到9的整除性，在平常計算整數的加減法也有用處，比如可以用來偵測錯誤。幾個數加起來，用各個數的數字和，跟答案的數字和，各自看看除以9的餘數，是不是一致，也是一個偵測錯誤的方法。雖然3的整除性也有這個效果，但除以9的餘數，有0至8共9個數，比起除以3的餘數只有3個，巧合地一致的情況也少了，於是偵錯的能力也強一點。當然，就是見到餘數一致，也未必一定對了，只是偵測錯誤時，多個想法而已。
在這次的問題中，9的整除性成了解題的關鍵，固然看到這方法的價值。不過這題到底只是一道特殊情景中的問題，要在當中得到一些普遍的指引，才是有較大得着的想法。比如能夠引申到算術中偵測錯誤，就是較好的想法。
數學題裏，解答時內容有各種想法，是值得討論和交流的。在跟別人討論的過程中，若能留意到各人在題目裏得到的教訓，各自又引申到什麼常見的問題去，就是交流之中較大的得着。各人因着各自的知識背景，往往有着不同的體會，這些都是值得學習的事。有些是認真的應用，有些可能只是聯想出來的笑話，但也會令學習本身增添了樂趣，加深了記憶。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
