【奧數揭秘】不等式裏的根式
平常在課內見到的不等式，初中都是一元一次，到了高中就有一元二次，但包含根式的就比較少見了。再聯想得遠一點，也會發現遇到的不等式裏，那些未知數的指數較大的，或者有對數的，好像都比較少見。不等式的技巧很多，但在談技巧之前，還得要注意當中那個未知數的範圍是多少，打好基礎，才可以在運用時避免漏洞。
題解中主要是把不等式右方分類討論，然後在取平方過程中，解得部分範圍，又考慮到根式內部的範圍非負，總結後得到答案。
這當中較易忽略的部分，是先考慮範圍才取平方的部分。平常來說，兩數之間的大小，與取平方後的大小未必一致，比如2 > -3，但取平方後是22 = 4 < 9 = (-3)2，大小跟之前相反了。在題目的情景裏，先把左右兩方在分類中化成同樣是正數的情況，那才可以在取平方後，保持大小一致。
之後考慮到右方是小於零的情況，那樣左方的根式必是零或正數，也必大於右方，只是這樣又容易忽略了左方根式內為非負的限制，於是範圍上又有偏差了。
這道題很容易擊中學生的弱點。以不等式來說，學生解題時往往會跟解方程的經驗混淆在一起，比如不時覺得，算式左右方做同樣的事情，比如取平方，或者乘除各樣的數，大小都會保持一致，於是誤解就多了。這些若果作為計算原則說出來，學生會覺得易懂，但做出來時，卻往往未能夠在細節上避免失誤。
奧數題裏，就是有一些可以幫助學生釐清誤解的題目，這些在學生的學習中是重要的。雖然在難度上，這些問題未必算是奧數裏最高，但做起來時卻正中弱點，打破了許多想當然的誤會。
數學題裏有些題目會較難，高挑戰性又解決得了，當然會有成功感，但這點成功感，也很容易讓人覺得越難越好，其實這並非必然。有些中等難度的題目，可以幫助學生理解得更清晰，又或破除表面的理解，找到更深入精準的根據，這種題目也是好的。有時難的題目未必在數學上更有用，或者長遠的影響未必很強，就只是一時間的感覺良好而已。
競賽題目的提問形式較多，也更容易刺激起人們思考，什麼題目才是好的。這些好的標準挺多，難度固然是其中一個，有時是應用的情景很廣泛，或者很生活化，或者教學上令學生有追問的動力，或者可以令人懂得一些數學分支的新角度等。
懂得在多方面欣賞一道數學題的價值，在學習和教學上，都能夠令學習生活豐富起來，長遠趣味就大了，能力也強一些。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
◆香港數學奧林匹克學校
