【奧數揭秘】三角函數的準確值
這次講到的題目，跟平常三角函數裏，已知函數值然後找角度的差不多，只是要求的都是準確值，而且函數值又不是常見的那些。固然可以在代數上把各項移來移去，看看有什麼變化，也可以想像一下有什麼作圖的方法，兩邊都去想一想。
問題：已知x是一個銳角，且tan x = [2] - 1，求x。
答案：把原式的1移去左方，取平方，可得(1 + tan x)2 = 2，展開成1 + 2tan x + tan2x = 2，移項後得[2tan x][1 - tan2x] = 1。左方應用tan的二倍角公式，得tan2x，右方化成1 = tan45o。故此有tan2x = tan45o，得x = 22.5。
題解裏的都是純粹的數學技巧，就是展開移項之類，然後用tan的二倍角公式，又見到1本身可以化成tan的形式，最後解出x來。這題目裏有個銳角的條件，也值得留意一下，在哪裏發生了作用。那就是1化成tan45o，並不是唯一的做法，事實上，也可以化成tan225o，只是那樣得出來的x會是112.5o，變成鈍角，違反了題目的條件。
這個代數的方法，看來數學化了點，不太直觀，我們也可以試試用幾何作圖的想法，看看會不會容易明白一點。比如等式右方有[2] 和1，就容易聯想起一個等腰直角三角形的三條邊，而[2] - 1，就可以想像在直角邊上作延長線，延長至與斜邊相等那樣（見圖一）。
在圖中，留意到tan∠DBC = [2] - 1，也就是x = ∠DBC。
這樣△ABD就是等腰三角形，當中AB = AD，得∠D = [180o - 45o][2] = 67.5o，而x = ∠DBC = 90o - 67.5o = 22.5o。
以幾何的方向作圖，結果就直觀多了，比起純粹用代數堆砌出來，感覺會易明一點。
中學的數學問題裏，有時也會問到，對於一些特殊角度來說，相關的三角函數準確值是多少。常見到要記着的都是30o、45o和60o，到了懂得三角函數的和差公式，就懂得找15o，另外還有一個較特別的，就是36o，這個就要有點技巧，比如要懂得二倍角和三倍角公式。
36這個數字是特別的，就是36 × 2 = 180 - 36 × 3，於是化成角度取sin值的時候，為方便記36o為θ，就有sin2θ = sin3θ。用二倍角和三倍角公式，就有2 sinθcosθ = 3 sinθ - 4 sin3θ，約去sinθ，再把sin2θ化成1 - cos2θ，就得出一元二次方程式4cos2θ- 2cosθ- 1 = 0，用二次公式，就得cos36o = [[5] + 1][4] 。
這裏也看到，找三角函數值時想要找出準確值，也是要一番技巧的，沒有平常拿個計算機按幾個鍵那麼輕鬆。從剛才題目裏的22.5o和36o，會見到函數值有根號，於是也可以問由0度至90度之間，那些整數的度數裏，若果要計算它的準確值，答案裏是不是會出現一些根號，或者幾次方根之類。
平常拿着計算機，按幾個鍵就出來的答案，思考一下怎樣找準確值，或者找個足夠準確的近似值，都是有趣的問題，當中會發現許多技巧。當然做起來不會那麼順利，那就由一些已知的部分開始，一步一步地探索，看看能不能找到一些新想法。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
