奧數揭秘：直觀與推理
這次說的是一道談面積的題目，看看有沒有簡單一點的想法。
問題：已知長方形ABCE、等邊三角形AEF和DEC的面積總和，比△BDF的面積多33，求長方形ABCE的面積。（圖一）
答案：留意到ABCE、AEF和DEC三個圖形，跟BDF有重疊的部分。觀察BDF裏DEF的部分，並不屬於以上三個圖形，但原來跟圖裏的其他圖形是有關係的。
仔細看來，△DEF ≅ △DCB，原因是FE = AE =BC，ED = CD，∠DEF = 360o - 90o - 60o × 2 = 150o = 90o + 60o = ∠DCB，也就是一個SAS形式的全等。
於是比較起來，那三個圖形，跟BDF相差就只有△FAB的面積，也就是33。留意△FAB若以AB為底的話，對應的高剛好是AE的一半，也就是說，△FAB的面積是ABCE的[4][1] ，因此ABCE的面積是33 × 4 = 132。
解題之中，主要是看通了有全等三角形，然後把圖形拼湊起來，看看相差哪一塊面積，就知道哪一塊是33，之後看到多出來的33，是長方形的[4][1] ，最後就知答案了。
這個用圖形分割來看題目的方法，既實用，也直觀。有時課內的數學練多了，老是在追尋一些看來多點代數的方法，或者老是想去用許多計算，好像未列式就什麼也想不出來。其實說到底，幾何題就是一些圖形，分割講穿了就是把圖形剪剪貼貼，沒那麼高深的。有時越學多了知識，看幾何題反而沒有小學時那麼直觀。
至於全等三角形的部分，要看出來也很容易，第一眼就看到兩組對應的邊相等，然後發覺第三條邊不太好計算，所以去看兩邊的夾角，計算一兩步就看得出來。仔細點看，除了上述的△DEF ≅ △DCB以外，還有△BAF也是跟這兩個三角形全等，只是跟解題過程沒什麼關係，所以沒說出來而已。之後還會推出△BDF是等邊三角形，這個在一開始也不太明顯。
把圖形分割再移動，又在各樣的邊和角之間計算和推論，然後把一些看來可以移來移去的部分，找出具體數學根據，明白為什麼是一樣，那樣直觀和邏輯都用上了，幾何上的思想也靈活一點。
這點思想上的聯想與推理綜合應用，未必每個人都會懂。小學時可能直觀看多了，未必會在切割與移動中有多少訓練。到了中學，比較重視有根有據的推理訓練，如果用直覺反而容易干擾邏輯訓練。想在聯想與推理之間沒有干擾，而是相輔相成的話，實在是要一番鍛煉的。
知識上綜合應用是困難，除了要知道各個元素，還得要避免互相干擾的情況。要是在思想上想綜合多些策略來應用，就需要很清晰的思路，才可以把幾種想法運用自如。
以平常的訓練來說，為了避免干擾邏輯訓練，多數都是選取寧拙勿巧的路，希望學生能一步一理據地做推理，主力訓練推理能力。
做題時能把推理的理據寫得仔細清晰，才可以引入一些直觀的洞察，否則重點錯置的話，根基就薄了。
◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
