【奧數揭秘】正方形裏的正方形
解幾何題的時候，通常都是先畫好圖，然後再找些線和角的關係。這次試着畫少一點，看看效果會怎樣，也談一下看幾何圖形時的視角。
解題過程中，第一步是見到PQRS是正方形，然後用對角線的比來計算出面積比，但這方法未必能直接地看出來。有時解幾何題時就想畫整個圖出來，但越畫越麻煩，又沒跟比例，看來就線條又多又複雜，也未必可以由旋轉對稱或者軸對稱的關係之中，明白到PQRS是正方形，或者對角線RP會平行於AD之類。
又或者想找線段比，而沒有意識到對角線的比會比較容易找到，要是去試邊長的比，像那些PQ和QR之類的線段，即使找到了，過程還是會複雜一大截。
旋轉對稱這些視角，有時也挺有用的，比如看着右圖，問起AP和BQ是否互相垂直，固然圖看來挺像，但真要計算那些角度，也可能要幾個步驟才可以做到，難是不難，只是有點煩。若用旋轉視角，想想三角形ABP，沿着正方形ABCD的中心，逆時針旋轉至BCQ，那樣AB固然是轉了個直角去BC，而AP也是轉了個直角去BQ，這樣看來AP和BQ互相垂直就是很自然的事。進一步還有BQ垂直CR之類。
這樣也比較容易說清楚，為什麼PQRS很容易就知道是正方形了。比如ABCD的中心叫做O，那樣OP旋轉了個直角，就去了OQ，再轉個直角，就去了OR，再轉個直角，就去了OS，這樣PQRS當然就是個正方形。
題解中一開始就說PQRS是正方形，講到好似很易知道似的，其實是用旋轉視角時就很容易看到。只是有時看着題解，某些步驟看似理所當然，但讀者未必一定有那些視角，於是讀數學書時就會有些作者覺得很簡單的東西，讀者看一小時也不明白。
事實上，平常跟別人溝通，都有這些問題的，就是有些人思考上，剛好有些視角比較常用，有些事理對他來說很明顯，說出來時以為別人也很易懂，沒加以說明，然後別人想半天也不明白。
久不久在學數學之餘，反省一下平常思想習慣用什麼角度，知道什麼方面可能多加說明，改善溝通能力，也挺有益。 ◆張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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