【奧數揭秘】三粒骰子
平常談起擲骰子的情況，大都是問與概率相關的問題，最簡單的就是點數為1至6的骰子裏，擲到1的機率是[1][6] 。若果講到兩粒骰子的情況，比如要點數加起來是8，那樣數起來，就有(2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2)，共5種情況，機率為[5][36] 。注意這裏(2,6)和(6,2)要分兩種情況來計算，直觀上也是合理的，因為擲出2和6的情況，大概比擲出4和4是更多。處理這些擲兩粒骰子後加起來多少點數，概率又是多少的問題，畫個表是個好方法，比如剛才討論的情況，可以畫到這樣，然後就知道多少情況加起來是8，又知道總共有多少情況。
要是擲三粒骰子，那又怎樣呢？畫表的方法只在兩粒骰子時才用得到，加到三粒骰子，就很難畫成立體圖表。平常做這些問題時，要清楚有多少個情況，常用的想法都可以用樹形圖，然後先列舉，再找規律，引入加法和乘法，那就容易數一些。這次介紹一個比較特別、用上了多項式乘法的想法。
問 題：擲三粒骰子，然後把點數加起來時，總和是14的情況有多少個？
答 案：考慮(x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)3的展開式，然後x14找的系數，就是答案。把算式的3次，分成1次和2次相乘，則可化成(x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)(x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + 5x6 + 6x7 + 5x8 + 4x9 + 3x10 + 2x11 + x12)
右方括號裏的算式好像很長，其實系數依次就是12345654321 = 1111112。至於為什麽是這樣的順序，讀者也可以自己思考一下。展開後，x14的系數，就是那些2次與12次的系數相乘，3次與11次的系數相乘，諸如此類，然後相加，具體而言，就是1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。
也就是說，三粒骰子，點數加起來是14的情況，有15個。
題解裏的方法，在三粒骰子的情況下，與用列舉的方法相比，未必特別快。只是若推論得遠一點，想想四粒骰子的點數加起來是20之類的，由於那些系數挺有規律，計算起來就有優勢。
另外，這次問三粒骰子的情況，只是情景比較具體的問題，若果數學化一點來表達，就會變成a + b + c = n，其中n是給定的正整數，而a、b和c是一定範圍內的正整數時，有多少組解的問題，這算式也算挺常見的。這裏也見到數理之間錯綜複雜的應用，就是幾個數加起來是一個固定的數，找多少個解，也可以用多項式的系數來思考，這個憑直觀大概都是想像不到的。
這次談用多項式系數來計數的方法，說到底也只是其中一個方法，用起來效果好壞，就要看實際情況，再作出適切選擇。事實上，不管是這裏寫的心得，還是日常看文章見到的各樣生活經驗，應用前都要理解得通透，然後靈活適切地應用，才有好效果，絕不可把想法生搬硬套。 ◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
◆香港數學奧林匹克學校
